183 / 320
181
рассчитанная на плавное изменение переменных, окажется для такой
ситуации неадекватной. При этом амплитуда численных биений
переменных быстро неограниченно возрастет, но выбираемый алгоритм
численного счета может ограничить осцилляции. Тогда характер
поведения переменных в зоне ударной волны уже не будет связан
со структурой исходных уравнений. Описанные эффекты являются,
по существу, недостатком не столько методов решения уравнений, сколько
самих нелинейных уравнений без дисперсии и диссипации для описания
реальных физических процессов [
Гурбатов, 1985
].
В вычислительных экспериментах выяснилось, что добавление
слагаемых с вязкостью стабилизирует численный счет. Фактически это
обусловлено тем, что диссипативные механизмы в нелинейных уравнениях
без дисперсии стабилизируют само решение этих уравнений, делая его
непрерывным. Это обстоятельство меняет отношение к вязким членам
в уравнениях. Даже если реальная вязкость в плазме очень невелика, эти
слагаемые могут рассматриваться, как необходимые для стабилизации
решения уравнений и численного счета. При этом, как показали численные
эксперименты, значения вязкостей в достаточно широком диапазоне
численных значений не очень существенно влияют на результаты.
С другой стороны, необходимо отметить, что в численных экспериментах
обнаружена и верхняя граница применимости для значений
коэффициентов вязкости, выше которой их увеличение приводит к быстро
нарастающей численной неустойчивости. Суть проблемы легче всего
понять на простейшем варианте линейного диффузионного уравнения:
2
2
B
B
t
z
,
которое в компьютерной реализации представляет собой итерационную
процедуру:
2
2
2
,
1 / 2
,
/ 4
(
) (
) ( ) (
) ( ,
/ 4
,
) (
) (
)
В t
x
B t x
B t x
B t x
Здесь
– временной шаг счета,
– пространственный интервал
интегрирования. Можно предположить, что при условии
>
2
должна
возбуждается двухтактовая неустойчивость с периодом 2
и
с пространственным периодом 2
. Численный счет подтверждает это
предположение. При этом возникает неустойчивость «вспыхивающего»
характера – за очень небольшое число временных итераций вспыхивает и
нарастает
до
вычислительного
предела
низкопериодическая
по пространству и времени структура. Такой тип неустойчивости
вычислительного решения качественно отличается от пространственно