26 / 320
24
погрешности
ε
в определении интеграла в правой части, определить
максимальную частоту. Исходя из максимальной частоты определяется
число отсчетов. Если размер области задания исходной функции
f(x)
равен
X=
2
X
max
, а число отсчетов функции при дискретизации должно составлять
N
, то шаги дискретизации исходной функции и ее спектра составят:
max
max
max
max
1
;
2
2
1
;
2
2
N
x
N
x
x
x
(1.12)
Итак, в результате дискретизации, в соответствии с теоремой
Котельникова, от
x(t)
мы переходим к набору отсчетов или к вектору:
n
X x
;
0 1 2
1
...
N
X x x x
x
,
n
=0,
N
-1.
Таким образом, рассмотренная фундаментальная теорема в области
цифровой обработки сигналов связывает непрерывные и дискретные
сигналы, доказывая, что любой непрерывный сигнал можно представить
в виде интерполяционного ряда с дискретными членами.
§1.4. Погрешности дискретизации данных
При приближенной замене непрерывных систем дискретными
системами возникает погрешность, в результате которой истинные
значения
x(n)
сигнала
x(t)
на выходе непрерывной системы в точках
t
n
= n
Δt
отличаются от вычисленных значений
x
c
(n)
на выходе дискретной
системы. Ошибка
Δ
x(n)=x(n)-x
c
(n)
, обусловленная дискретизацией, будет,
вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации
Δt
. В пределе
при
t
→
0 процессы в непрерывной и эквивалентной дискретной системах
совпадают. Однако при уменьшении шага дискретизации увеличивается
объем вычислений, поэтому шаг
Δt
целесообразно выбирать как можно
большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений.
В настоящее время не представляется возможным указать
достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации,
обеспечивающего заданную точность при различных методах
дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных
значений сигнала на выходе непрерывной системы будет мала, если шаг
дискретизации
приближенно
удовлетворяет
условиям
теоремы