89 / 320
87
а случай гиперболического волнового уравнения является промежуточным.
Диссипативные процессы, обеспечивающие затухание волн, могут
несколько исправить положение, поэтому искусственная диссипация
(например, вязкость) нередко искусственно вводится в уравнение
для обеспечения устойчивости разностной схемы. В противном случае
пришлось бы брать столь мелкие параметры дискретизации,
что вычислительное время становится неприемлемым.
В действительности же континуальная модель в виде нелинейного
дифференциального
уравнения
существенно
более
внутренне
противоречива, чем дискретный рекурсивный алгоритм. Это обусловлено
актуализацией бесконечности в континуальной модели и подтверждается
большим числом парадоксов, связанных с применением нелинейных
дифференциальных уравнений в качестве математических моделей
природных процессов.
Необходимо коротко сказать и о влиянии конечной точности
вычислений из-за ошибок округления. При программировании переменной
числом с плавающей точкой такие ошибки очень невелики на каждом
шаге, но достаточно принципиальны из-за того, что округление чисел
при арифметических операциях является нелинейной функцией, т.е. если
дискретизация пространства и времени еще оставляет класс линейных
задач, то неизбежная в вычислительной системе дискретизация самой
переменной уже делает все задачи нелинейными. Попытки уменьшить
ошибки других типов за счет уменьшения временного шага
t
при фиксированном интервале наблюдения за процессом
T
ведут к росту
числа итерации и, соответственно, к росту нелинейных ошибок
округления. Таким образом, неограниченное измельчение временной сетки
становится не только неразумно дорогим в плане использования
вычислительных ресурсов, но и начнет на каком-то этапе ухудшать
результат вычислений. Подробное исследование отмеченных вопросов
требует дополнительных исследований, выходящих за рамки настоящей
работы, однако приведенные здесь соображения позволили нам выбирать
параметры дискретности пространства-времени при интегрировании
системы МГД-уравнений должным образом.
В связи с этими проблемами для выбора оптимальных значений
параметров дискретизации системы – шага временного интергирования
t
и масштаба пространственной сетки
l
– важно было провести
исследование, как зависит расхождение дискретной и континуальной
моделей от этих параметров. Для распространяющихся волновых
процессов особенно существенно, что отношение параметров